Analyse MIP S3

Table des matières 

1 Notion de topologie dans R n 5 

1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Position d’un point par rapport à une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 HORS PROGRAMME : Applications d’une e.v.n. vers un e.v.n. . . . . . . . . . 23
1.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.2 Opérations sur les fontions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 1.9.3 Extension de la définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 1.9.4 Cas des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 1.9.5 Notion de continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
 1.9.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 29 

2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Continuité sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Calcul différentiel 41

 3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
 3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
 3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
 3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . 51
3.6.1 Gradient et ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.3 Plan tangent à un graphe d’une fonction de 2 variables . . . . . . . . . . . 53

4 Théorème des accroissements finis 55 

4.1 Fonction d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Fonction d’une valeur sur un espace R p et à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Fonction d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Difféomorphismes 61 

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Formules de Taylor 67 

6.1 Applications deux fois différentiables ................ . ..  68
6.2 Exemples de différentielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Matrice Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 Différentielle d’ordre k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.5 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5.1 Fonction d’une variable réelle à valeur réelle . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5.2 Fonction d’une variable réelle à valeurs dans R q . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5.3 Fonction de R p à valeurs dans R q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6.1 Fonction d’une variable réelle à valeur dans R q . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6.2 Fonction de R p à valeur dans R q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.7 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Extrema 79 

7.1 Rappels d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2.1 Conditions nécessaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2.2 Conditions du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2.3 Critères avec les matrices Hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2.4 Cas particulier où f : R 2 → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3.2 Extrema liés avec une seule contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3.3 Extrema liés avec plusieurs contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Cliquez ici pour télécharger votre cours