Analyse MIP S1 & BCG S2
1er Cours
Tables des Matières
1 Les nombres réels ....................................... 5
1.1 Les ensembles usuels de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Le corps des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Densité de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Valeurs absolues, parties entières . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Les suites ................................................15
2.1 Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Les suites, suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Résolution des suites un+2 = aUn+1 + bUn . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 lim inf et lim sup (hors programme) . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Le critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9 Les suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10 Approximation des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Fonctions d’une variable réelle ............................. 37
3.1 Définitions de base, terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3 Valeur absolue et partie entière . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.4 Autres fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Monotonie et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Retour sur exp , ln et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.9 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.10 Équivalence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.11 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.12 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.13 Théorèmes fondamentaux de la dérivation . . . . . . . . . . . 68
4 Équations différentielles .........................73
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Équations linéaires d’ordre 1, sans second membre . . . . . . . 74
4.3 Équations linéaires d’ordre 1, avec second membre . . . . . . . 75
4.4 Trouver des solutions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Fonctions circulaires et hyperboliques........................... 79
5.1 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1.1 Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.2 Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.3 Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.1.4 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.2 Argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.3 Argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.4 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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2éme Cours
Table des matières
1 Limites 3
1.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Quelques rappels (Parties majorées et minorées, Suites. . . ) . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Continuité 19
2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Fonction continue sur un intervalle fermé borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Fonction strictement monotone et continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Dérivée 39
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Théorème des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Fonctions de classe Cn.. . . . . . . . . . . . 44
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Formules de Taylor et développements limités 67
4.1 Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Fonctions analytiques (hors programme...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Exemples (formules de Taylor, DL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Intégrale et primitives 111
5.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 Intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5 Intégration par parties, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 Fonctions réelles de plusieurs variables 132
6.1 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Différentielle, dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3 Recherche d’un extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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