Algèbre BCG S1

Rédigé par Pr Driss EL MORSLI

Table des matières 

Introduction 5 

1 Raisonnement mathématique 6

 1.1 Eléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6
1.1.1 Assertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Raisonnement d’Alkhwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Les quantifications logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Quelques règles logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Vocabulaire ensembliste et propriétés des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 1.3.1 Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Le théorème du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

 2 Factorisation des polynômes 28

 2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Somme de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Produit de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
 2.5 Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes . . . . . . . . . . 33
2.6 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Fonction polynômes - Racine d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 2.8 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8.2 Racines n-ièmes de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Les irréductibles de C et de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

 3 Décomposition des fractions rationnelles 44 

3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
 3.2 Décomposition d’une fraction dans C(X) et dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Méthode de décomposition par identification des coefficients . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Méthode de décomposition par division selon les puissances croissantes . . . . 53
 3.2.3 Méthode de décomposition par réductions élémentaires successives . . . . . . 54
3.2.4 Méthode de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5 Cas de parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Résolution des systèmes linéaires - Les matrices et déterminant d’une matrice carrée 59

 4.1 La résolution des systèmes par la méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Calcul matriciel et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
 4.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2 Opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Calcul de l’inverse d’une matrice par sa comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
 4.5 Calcul de l’inverse d’une matrice par la technique de Gauss .

Cliquer ici pour télécharger votre PDF